Rivista Quanti

26 aprile 2023

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Scrittore collaboratore

26 aprile 2023

La prima prova che molte persone imparano, all'inizio delle scuole superiori, è la dimostrazione del matematico greco Euclide che esistono infiniti numeri primi. Richiede solo poche righe e non utilizza concetti più complicati dei numeri interi e della moltiplicazione.

La sua dimostrazione si basa sul fatto che, se esistesse un numero finito di numeri primi, moltiplicarli tutti insieme e aggiungere 1 implicherebbe l'esistenza di un altro numero primo. Questa contraddizione implica che i numeri primi devono essere infiniti.

I matematici hanno un passatempo curiosamente popolare: dimostrarlo ancora e ancora.

Perché preoccuparsi di farlo? Per prima cosa, è divertente. Ancora più importante, "Penso che il confine tra matematica ricreativa e matematica seria sia molto sottile", ha affermato William Gasarch, professore di informatica all'Università del Maryland e autore di una nuova dimostrazione pubblicata online all'inizio di quest'anno.

La dimostrazione di Gasarch è solo l'ultima di una lunga serie di nuove dimostrazioni. Nel 2018, Romeo Meštrović dell'Università del Montenegro ha compilato quasi 200 dimostrazioni del teorema di Euclide in un'indagine storica completa. In effetti, l'intero campo della teoria analitica dei numeri, che utilizza quantità continuamente variabili per studiare gli interi, ha avuto origine probabilmente nel 1737, quando il gigante matematico Leonhard Euler usò il fatto che la serie infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ 4 + 1/5 + … diverge (nel senso che la somma non dà un numero finito), per dimostrare ancora una volta che esiste un numero infinito di numeri primi.

Christian Elsholtz, matematico dell'Università di Tecnologia di Graz in Austria e autore di un'altra recente dimostrazione, ha affermato che invece di dimostrare risultati difficili da molti risultati più piccoli - ciò che fanno i matematici quando assemblano sistematicamente lemmi in teoremi - ha fatto il contrario. "Utilizzo l'Ultimo Teorema di Fermat, che in realtà è un risultato non banale. E poi concludo con un risultato molto semplice." Lavorare a ritroso in questo modo può rivelare connessioni nascoste tra diverse aree della matematica, ha detto.

"C'è una piccola competizione là fuori per accaparrarsi la dimostrazione più ridicolmente difficile", ha detto Andrew Granville, matematico dell'Università di Montreal e autore di altre due dimostrazioni. "Deve essere divertente. Fare qualcosa di tecnicamente terribile non è il punto. L'unico modo in cui vuoi fare qualcosa di difficile è che sia divertente."

Granville ha detto che c'è un punto serio in questa amichevole superiorità. I ricercatori non si limitano a nutrire le domande che cercano di risolvere. "Il processo di creazione in matematica non consiste nel dare semplicemente un compito a una macchina e la macchina lo risolve. Si tratta di qualcuno che prende ciò che ha fatto in passato e lo usa per creare una tecnica e creare un modo per sviluppare idee ."

Come dice Gasarch, "Tutti gli articoli passano da una nuova, carina dimostrazione che i numeri primi sono infiniti a una matematica seria. Un giorno guardi solo i numeri primi e il giorno dopo guardi la densità dei quadrati".

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William Gasarch, professore all'Università del Maryland, è l'ultimo di una lunga serie di matematici a fornire una nuova prova che i numeri primi sono infiniti.

Evan Golub

La dimostrazione di Gasarch inizia con il fatto che se si colorano gli interi con un numero finito di colori, ci sarà sempre una coppia di numeri con lo stesso colore la cui somma è anche quel colore, cosa dimostrata nel 1916 da Issai Schur. Gasarch utilizzò il teorema di Schur per dimostrare che, se esistesse un numero finito di numeri primi, allora esisterebbe un cubo perfetto (un numero intero, come 125, che è uguale a qualche altro numero intero moltiplicato per se stesso tre volte) che è la somma di due altri cubi perfetti. Ma già nel 1770, Eulero aveva dimostrato che un cubo del genere non esiste: il caso n = 3 dell'Ultimo Teorema di Fermat, che presuppone che non ci siano soluzioni intere di an + bn = cn per n maggiore di 2. Basandosi su questa contraddizione, Gasarch ragionò che deve esserci un numero infinito di numeri primi.